Ударение падает на первый слог: осколок кОсти.

Форма родительного падежа: кости.

Сначала об орфографии. В современном русском языке правильным является написание через О: Кощей, Кощей Бессмертный и (о тощем старике, скряге) кощей. Но раньше правильным было написание Кащей. Сейчас этот вариант в словарях дается как устаревший.

Теперь о происхождении этого слова. Слово Кощей имеет два варианта этимологии: 1) от слова кость ('худой, тощий человек, ходячий скелет'); 2) от костить в значении 'бранить'. Поэтому согласно этимологии надо писать через О.

Правильно: перелом кости.

Это сочетание корректно, оно имеет значение "кожа, произведенная в Италии".

Ударение остается на корне: до ко́сти.

Это явление можно назвать разновидностью омонимии (или, как художественный прием, паронимическая аттракция).

Правильно: обеспечивает увлажнение кожи губ.