Ударение падает на первый слог: осколок кОсти.
Правильно: перелом кости.
Ударение остается на корне: до ко́сти.
Форма родительного падежа: кости.
Правильно с прописной: К нам пришли Костины друзья.
Слова носище, топорище (в значении 'большой топор') и пожарище (в значении 'большой пожар') – существительные мужского рода. Топорище 'рукоятка топора' и пожарище 'место, где был пожар' – существительные среднего рода.
Верно: обработка кОсти.
Корректно: шашлык на кости.