Правильно с прописной: К нам пришли Костины друзья.
Ударение падает на первый слог: осколок кОсти.
Ударение остается на корне: до ко́сти.
Правильно: перелом кости.
Форма родительного падежа: кости.
Корректно: шашлык на кости.
Верно: обработка кОсти.
Это явление можно назвать разновидностью омонимии (или, как художественный прием, паронимическая аттракция).