Орфографический академический ресурс «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН фиксирует:
ашиха́ра-карате́, нескл., с.
карате́, нескл., с.
карате́-до́, нескл., с.
карате́-кеку́синкай, нескл., с.
коси́ки-карате́, нескл., с.
По аналогии следует писать и другие названия стилей карате.
Ударение падает на у.
Корректно: уже не модно.
Эти гласные входят в основу, относятся к словообразовательным морфемам.
Существительные с процессуальным значением от глаголов пороть (чушь), косить (бабло) в нормативном лексиконе отсутствуют. Однако выражение стрельба глазами вполне нормативно, оно зафиксировано, например, в "Большом словаре крылатых фраз отечественного кино" А. Кожевникова: Такое упражнение: туда — сюда, туда — сюда, — называется стрельба глазами (К/ф "Летучая мышь").