Да, мужская фамилия Котик склоняется.
Ударение падает на первый слог: осколок кОсти.
Пожалуйста, воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте» на портале.
Название не склоняется и иначе пишется. Воспользуйтесь, пожалуйста, ресурсом «Проверка слова» .
Корректен первый вариант.
Правильно: перелом кости.
Ударение остается на корне: до ко́сти.
Форма родительного падежа: кости.
В англо-русском лингвострановедческом словаре «Американа» зафиксировано: Уорик.