Фамилия Захария склоняется.

Спасибо!

Возможны оба варианта.

Оба варианта возможны, при этом первый - с оттенком значения "жду конкретное задание".

Корректура – это исправления, связанные с правилами правописания, опечатками, версткой и т. п., которые вносятся перед публикацией. Если исправления касаются содержания, то верно: корректировка технического задания.

Нет, формулировка некорректна.
Можно выполнить задание или заполнить карточку. 

Определение, относящееся к двум или нескольким существительным – однородным членам, ставится в форме единственного числа, если по смыслу сочетания ясно, что определение относится не только к ближайшему существительному, но и к последующим. В противном случае употребляется форма множественного числа. При написании первая авария, кража, растрата поймет ли читатель, что прилагательное первая относится ко всем трем существительным? Если в этом есть сомнения, лучше написать первые.

Правила склонения фамлиий см. в рубрике «8familii/">Азбучные истины».