Правильно: зал Чайковского, в зале Чайковского.
Корректно с прописной (большой): Конкурс им. Чайковского.
Пишется со строчной: в концертном зале "Россия".
Отчество образуется путем присоединения суффикса -ович к полной форме имени: Халимович (от Халим), Халимыгович (от Халимыг).
Правильно: города Чайковского. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
От имени Курбангали образуется отчество Курбангалиевна.
Правильно: к Пелагее. О склонении фамилий и личных имен читайте в «Письмовнике».
По правилу, такие фамилии пишутся через дефис: Мак-Грегор, Мак-Клеланд. Но существуют многочисленные исключения, которые проверяются в словарном порядке.