Верно: коза ностра.
Вариант театр "Кодак" кажется наиболее удачным (если речь действительно идет о театре).
В художественных произведениях сохраняют особенности орфографии и пунктуации, характерные для стиля автора и для эпохи. В теме литературоведческой работы, как и в тексте работы, необходимо следовать современным нормам. Однако в цитатах орфография источника цитирования может быть сохранена.
Вопрос следует адресовать носителю фамилии.
В «Словаре собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко зафиксировано: Дмитрий Козак, Дмитрия Козака. Т. е. ударение при склонении переходит на окончание.
Название «Коза ностра» (или коза ностра, в словарях зафиксировано по-разному) несклоняемое.