Кое-что.
Орфографический словарь
Действительно раздельно. Это можно проверить в нашем электронном орфографическом словаре (набрать в окне «Искать на Грамоте» кое-что, кое-кто).
Слово кое-что пишется через дефис, если в этом состоит Ваш вопрос.
В разговорной речи и в просторечии - есть.
Эти сочетания имеют разное значение.
Корректно: кое-что таки... подправила. Здесь частица таки соотносится по смыслу не с местоимением (кое-что), а со стоящим в конце предложения глаголом (подправила). Ср.: кое-что я бы таки подправила.
Можно, это правильно.
Обратитесь к пособию Е. И. Литневской, размещенному на нашем портале.
Постфикс -то лишний, для намека на определенного человека достаточно кое-. Верно: Вчера, по кое-чьему ложному доносу арестовали Геннадия Петровича.