Кое-что.
Орфографический словарь
Нет, так сказать нельзя. Правильно на кой чёрт или какого чёрта, за каким чёртом.
Действительно раздельно. Это можно проверить в нашем электронном орфографическом словаре (набрать в окне «Искать на Грамоте» кое-что, кое-кто).
Слово кое-что пишется через дефис, если в этом состоит Ваш вопрос.
В разговорной речи и в просторечии - есть.
Эти сочетания имеют разное значение.
Можно, это правильно.
Корректно: кое-что таки... подправила. Здесь частица таки соотносится по смыслу не с местоимением (кое-что), а со стоящим в конце предложения глаголом (подправила). Ср.: кое-что я бы таки подправила.