Верно: в Бабьем Яре.

Правильно: кованный из железа котелок (кованный здесь – причастие).

Прилагательное: кованый. Причастие с зависимыми словами: кованный (кузнецом гвоздь).

Верно: кованая подкова (зависимых слов нет).

Мужская фамилия склоняется, женская – нет.

Правильное написание - с одной Н.

Верно: садж кованый.

Правильно: Бабель, если имеется в виду писатель, автор «Одесских рассказов» и «Конармии». Фамилия голландского футболиста, игрока «Ливерпуля», обычно произносится с твердым Л, в русской «Википедии» зафиксировано: Бабел.

Имя куклы Барби пока не перешло в разряд нарицательных, как, например, петрушка, и пишется с заглавной буквы без кавычек, см. словарную фиксацию. В сочетании играть в Барби по аналогии с играть в куклы имя используется в переносном значении, как название игры. Пока и при таком употреблении заглавную букву нужно сохранять. Подобные примеры в практике письма встречаются, но они немногочисленны.