Правильно: купание.
Правильно: на побережье. У слов среднего рода на -ье в предложном падеже окончание -е.
Запятая перед и не требуется в обоих случаях.
Вы правы: на пляже отдыхают, загорают, а купаются в воде. Распространенность сочетания купание на пляже, видимо, можно объяснить тем, что пляж в этом случае широко понимается как в целом место для отдыха, где есть и песок, и какая-то вода (река, море и др.). Представляется, что такое сочетание можно признать допустимым в непринужденной речи, но не в образцовом употреблении.
Действительно, забавная опечатка :) Исправлено. Спасибо за замечание!