Верно: на классном часе.

Корректно: на классном часе (во время классного часа).

Справочник Д. Э. Розенталя «Управление в русском языке» приводит такие рекомендации:

Правильно: руководитель чего (в знач. 'лицо, стоящее во главе чего-либо'): руководитель отдела, руководитель делегации и руководитель чем / чего (в знач. 'лицо, направляющее чьи-либо действия, работу'): руководитель полетом и полета космического корабля.

Правильно: руководство чем (в знач. 'направляющая деятельность управления кем-чем-либо'): руководство педагогической практикой студентов и руководство чего (в знач. 'руководители'): руководство театра.

Таким образом, верно: руководство детским чтением, руководители детским чтением и руководители детского чтения.

Верно: на классном часе. Сочетание на таком-то часу употребляется в знач. «в такой-то момент какого-либо процесса», ср.: на третьем часу доклада слушатели начали засыпать.

Руководитель кого-чего?

Верно: с чтением.

Корректно: "Лето в активе, или Самые классные летние развлечения".

Правилен первый вариант. Определение должно согласовываться с определяемым словом, а не с приложением при нем. Чтобы избежать грамматической неловкости, можно перестроить предложение.