Такова особенность склонения фамилий на ударный -ин и притяжательных прилагательных на ударный -ин.
Ничего некорректного в формулировке "Какое имя было у Куприна?" нет. Однако формулировка "Имя писателя Куприна" выглядит более удачной, так как в ней нет никакой двусмысленности.
Знаки препинания расставлены правильно.
Прилагательное киприотский фиксируется словарями.
Кипрский – прилагательное от Кипр; киприотский – от киприот (житель Кипра), означает: 'относящийся к киприотам, принадлежащий, свойственный им' (например: киприотские песни).