Написание неустоявшееся, предпочтителен вариант через дефис: породы кавалер-кинг-спаниель.
Правильно: шаровой (от шар).
Да, можно сказать «Дианы номер», однако такая инверсия должна быть стилистически оправданной. Например: Мне ничего в себе не сохранить, / Сгнила в воде и Ариадны нить [Е. А. Шварц. «Корабль Жизни уносился вдаль...» (2010)]; Его неимоверной силы власть / Во рту страны растаяла, как сласть [Ю. П. Мориц. Где никакой действительности нет: «Объят очами съеденных коров...» (2008)] и т. п.
Правильно: шаровой кран.
Каплет дождь, каплют слезы. Из крана - капает.
Корректно: полемизировать с кем-либо о чем-либо (ср.: спорить).