Правильно склонять (как в первом варианте). Подробнее см. в «Письмовнике».
Верно: бейджей и беджей (как картриджей, коттеджей).
Правильное написание: бедж (именная карточка).
Мужская фамилия Атанесян склоняется, женская – нет. Правильно: тетрадь Атанесяна Николая (но: тетрадь Атанесян Марии).
Верно: монастырь Святого Николая.