Правильно: Юлии.
Ударение не переходит на окончание: квЕсты, квЕстов.
Верно: Юлии, Марии, Анастасии. О склонении существительных на -ия см. в пособии Е. И. Литневской.
Правильное ударение: Квесисская.
Нормативных указаний нет. Возможно мягкое произношение: [в'е].
Правильно: Юлии Андреевне.