Форма родительного падежа: кости.
Ударение падает на первый слог: осколок кОсти.
Правильно: перелом кости.
Корректно: шашлык на кости.
Верно: обработка кОсти.
При глаголах восприятия, мысли, желания, ожидания (видеть, слышать, понимать, думать, знать, хотеть, желать, ожидать и т. п.) с отрицанием дополнение обычно имеет форму родительного падежа: не слышать хруста костей.
Вероятно, Михаилу Костю. Но нужно уточнить у носителя фамилии.