С новосельем! :)
Правильно: Кашёнкин Луг.
Грамматически правильно: Девочка несётся через луг к ручейку, протекающему в низине. Но стилистически предложение неудачно.
Правильно: лугский. Прилагательное лужский образуется от названия города Луга.
В этом предложении ставить запятые не нужно.
Правильно с прописной, т. к. нарицательные существительные употреблены здесь не в своем обычном значении (сейчас это микрорайоны, а не аэродром и не луг).