Правильно: кварталы.
Правильно: 1-2 (один-два) квартала; 1-й и 2-й квартал(ы).
Оба варианта написания не слишком корректны, так как в них нет информации о том, где именно предстоит работать приглашаемым.
Правила, полностью подходящего под этот случай, нет. Но можно применить правило о склонении географических названий. Название не склоняется, когда род обобщающего нарицательного слова (квартал) и топонима (Некрасовка) не совпадают. Поэтому рекомендуем писать: в «Квартале Некрасовка».
Правильно: по итогам первого квартала.
Если всё перечисленное — закрепившиеся названия (официальные или неофициальные), то Вы написали верно. Кавычки в названиях не нужны. Уточненное на современном материале правило написания топонимов можно прочитать в журнале «Вопросы ономастики».