Корректно: к чему привязана банковская карта.

Не вполне понятно, зачем здесь слово карта. Названия игральных карт пишутся со строчной буквы и без кавычек: выпал король треф; на руках осталась тройка бубен; дама пик означает тайную недоброжелательность.

Актуальные сведения о языках России можно найти на сайте Института языкознания РАН в разделе «Языки России».

В данном случае возможно согласование слов в скобках: определено в плане мероприятий («дорожной карте») по внедрению технологий. В «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой сказано, что заключенные в скобки слова-вставки, относящиеся к предшествующему обобщающему слову, не согласуются, например: Чехов проявил себя как блестящий мастер художественного слова в самых разнообразных жанрах (рассказ, новелла, сценка-юмореска, театральная пьеса). Однако в Вашем предложении представлен другой случай, это не слова-вставки с обобщающим словом. Следовательно, согласование допустимо.

Такое слово пока что не утвердилось в русском языке, поэтому и его грамматические характеристики вариативны. Однако речевая практика показывает, что чаще оно употребляется как существительое мужского рода: В сеть попал роадмап компании Toshiba на 2009-2010 год [Новости мобильной индустрии (2009)]; Ясный роадмап, сжатые сроки, ЗП высокая [CypRus Helpers. telegram CypRus Helpers (18.05.2022)] 

Верно: карта с 2000 (читается как с двумя тысячами) баллов.

Запятая должна закрыть определительный оборот, начинающийся словом утвержденной, однако не вполне ясно, где он заканчивается. Предлагаем такой вариант: Во исполнение Дорожной карты по достижению показателя «Внедрение Платформы обратной связи» на территории Иркутской области в 2024 году, утвержденной первым заместителем Председателя Правительства Иркутской области Р. Л. Ситниковым приказом № 06-70-204/24 от 29 февраля 2024 года (далее соответственно – дорожная карта, ПОС), сообщаю следующее.

Пунктуация в предложении Сами выбирайте (,) на что вариативна. Общее правило гласит, что если придаточная часть состоит из одного союзного слова, то запятая перед ним не ставится: Кредитная карта 100 дней без процентов. Сами выбирайте на что. Вместе с тем, как указано в параграфе 33.4 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя, в условиях контекста возможна постановка запятой и перед одиночным союзным словом, если оно логически выделено: Кредитная карта 100 дней без процентов. Сами выбирайте, на что. Если местоимение мыслится как произносимое с вопросительной интонацией, перед ним ставится тире: Кредитная карта 100 дней без процентов. Сами выбирайте — на что? (см. указанный параграф).​​​​​​​

Корректно с прописной без кавычек: использовать Пушкинскую карту.  

Да, это условное название, кавычки нужны: карта «Тройка», записать билет на «Тройку».