Правильно: стрижка каре.
Согласно «Словарю собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко (М., 2010), имя композитора не склоняется: (балеты) Кара Караева.
Конечно, возможно. Именительный падеж мн. числа – кары, родительный – кар.
Фамилия склоняется.
Корпус – корп. и к.
Предпочтительнее второй вариант.
Если имеется в виду прическа, сочетание корректно.