Это разные слова. Кипрский – прилагательное от Кипр (например: кипрская столица). Киприотский – относящийся к киприотам (жителям Кипра), принадлежащий, свойственный им (например: киприотские песни).
Прилагательное кемеровский соотносится с топонимом Кемерово, поэтому со словом Кемер следует соотносить кемерский.
У названия этого государства два варианта произношения: Катар (официальный) и Катар (общепринятый). Соответственно возможны варианты (и они фиксируются словарями) катарский и катарский. Словарная статья в «Проверке слова» исправлена в соответствии с данными 4-го издания «Русского орфографического словаря» РАН под ред. В. В. Лопатина и О. Е. Ивановой (М., 2012).
Кавычки не нужны.