Правильно: о Виталии, Василии, Валерии. На конце слова в предложном падеже пишется И - такова особенность существительных, оканчивающихся на ие, ия, ий.
Словарь русских имён
[Римск. родовое имя Valerius. От лат. valeo — быть сильным, здоровым.]
Правильно: связано с Коломенским. Название склоняется как прилагательное мягкое.
Верно: Алитойтю.
Слово НАТО может употребляться как существительное мужского или среднего рода.
Существуют оба варианта отчества.
Судя по информации в открытых источниках, все четыре слова входят в название труппы, поэтому корректно: «Свободный балет Валерия Терёшкина» и «Свободный балет» (как сокращенное название).
Первый вариант.