Правильно: Иркутский государственный университет. В названиях учебных заведений с большой буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные. Аббревиатуры пишутся прописными: ИГУ.

В этом предложении тире стоит между подлежащим, выраженным существительным в им. падеже, и сказуемым, выраженным количественно-именным сочетанием.  Тире ставится, если оба главных члена предложения выражены количественными числительными или если один из них выражен формой им. падежа существительного, а другой — числительным либо оборотом с числительным.

Часто конструкция с сочетанием один из является пояснительной. Ср.: Виртуальный биологический музей ― один из самых необычных биологических проектов современности (сочетание один из входит в состав сказуемого); Мы создали виртуальный биологический музей ― один из самых необычных биологических проектов современности (сочетание один из начинает пояснительную конструкцию); Нас сегодня посетили создатели одного из самых необычных проектов современности (одного из проектов ― дополнение).

Предпочтительно писать без кавычек, так как это общепринятое сокращение для названия института. Графическое оформление принятого названия не поменяется от того, что институт стал коммерческой организацией.

Сочетание иркутский губернатор следует писать со строчной буквы. См. § 196 «Названия должностей, званий, титулов» в «Правилах русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.