Корректно со строчной: стиль прованс.
Это неудачная калька с английского. Правильно: здоровый образ жизни.
Выбор глагола зависит от строя предложения и смысла.
Учебник Вам расскажет больше, чем "Справочное бюро".
Слово гриль выступает здесь в качестве неизменяемого определения, следующего за существительным. Сочетания с такими определениями пишутся раздельно, ср.: юбка клеш, масса нетто, вагон люкс, цвет электрик и т. п.
Англ. casual буквально означает "обиходный, повседневный стиль".