Эти формы им. п. мн. ч. взаимозаменяемы (вариантны).
Формы мн. ч. именительного падежа инспекторы и инспектора равноправны.
В качестве формы именительного падежа множественного числа возможны оба варианта.
Правильны обе формы: инспекторы и инспектора. Первая стилистически нейтральна, вторая имеет разговорный оттенок.
Причастия, прилагательные, глагольные формы прошедшего времени в таких случаях согласуются с именем (фамилией) человека, а не с приложением: Петрову, направленную на обучение...
Назначить на должность, но предложить должность. Уточнить особенности употребления слова должность можно с помощью словарей русского языка, в том числе и словарей, размещенных на нашем портале.