Да, это имя склоняется. Индианой Джонсом – корректно.
Да, имя киногероя склоняется, напр.: приключения Индианы Джонса.
Корректно: в Индии.
Предпочтительно: заимствованы у украинцев, заимствованы из Индии.
Может быть: покраска в цвет индиго?
Если имеется в виду учреждение, верно: Посольство России в Индии.
Корректно: в Республике Индии.