Данные примеры иллюстрируют не чередование в корне; это примеры разных (хотя и похожих внешне) корней.
Корректно: в Индии.
Если имеется в виду учреждение, верно: Посольство России в Индии.
Большой толковый словарь
Судя по данным толковых словарей, подготовленных профессиональными лексикографами, значения слов индийцы и индусы разошлись. Актуальное значение для слова индусы — 'индийцы, исповедующие индуизм', а для слова индийцы – 'представители народов, составляющих коренное население Индии'.
Корректно: в Республике Индии.
Корректное написание: орден Рыцарей Колумба.
Можно писать «вручили орден семье погибшего героя». Глагол вручить имеет значение "совершить передачу чего-л. непосредственно, лично кому-л. из рук в руки" и употребляется в случаях, когда подчёркивается либо акт передачи, либо важность передаваемого предмета.