Верно: в Республике Ингушетия.
В официальных названиях республик, входящих в состав Российской Федерации, слово республика пишется с большой буквы: Республика Ингушетия.
Все слова пишутся со строчной. Как первое слово официальных названий корректно с прописной, например, Арбитражный суд Республики Ингушетия.