Правильно: олимпийский чемпион, олимпийские медали, олимпийский огонь, эстафета олимпийского огня, олимпийский факел.
Обычно порядок слов такой: зимние Олимпийские игры, летние Олимпийские игры.
Неизменяемое приложение, передаваемое на письме цифрами, присоединяется дефисом: Сочи-2014, Олимпиада-2014. Однако в том случае, когда перед цифрами стоит не слово, а сочетание слов, дефис заменяется на тире: Олимпийские игры – 2014.
Корректно со строчной.
Как собственное наименование объекта в Сочи - с большой буквы: Олимпийский парк.
Эти сочетания пишутся строчными буквами. С большой буквы пишутся Олимпийские игры.
Вы написали правильно: чемпион Олимпийских игр (но: олимпийский чемпион).
Пунктуация корректна. Прилагательное олимпийский нужно писать со строчной буквы.
Таких спортсменов можно называть велогонщиками.