Эти слова пишутся в соответствии с правилами правописания, при этом согласный З в обоих случаях находится в сильной позиции по глухости - звонкости (т. е. трудностей с правописанием не возникает).
Верно: избегать (чего?) Синей яхты.
Верно: умеет избегать конфликтных ситуаций.
Верно: избегать продуктов с содержанием жиров.
Глагол избегать требует родительного падежа: избегать резких движений.