Оба варианта возможны. Лучше: приглашаем отдохнуть на лоне природы.
Верно: всемирно известная игра.
Верно: отзыв о компьютерной игре.
Корректно (в разговорной речи): экскурсия на природу. Но: экскурсия в лес, в парк.
Памятник природы — официальный термин, он широко используется.
Если имеется в виду "на прогулке за городом", то верно: на природе.
Кавычки не нужны.