Слово Кром, обозначающее Псковский кремль, пишется с большой буквы. См.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011.
Склоняется.
Да, правильно: над Жуковским.
Лучше: в городе Жуковском.
Возможно как слитное, так и раздельное написание.
Да, написано правильно. Слово кремль пишется строчными как второе слово наименований городских историко-архитектурных комплексов (но: Московский Кремль – как музей-заповедник и правительственная резиденция).