Правильно: укус змеи, укус собаки (но укушен змеей, укушен собакой).
Правилен первый вариант. Форма род. падежа мн. числа слова змей – змеев, а слова змея – змей. Ср.: Мы запускали воздушных змеев, но В низине много змей.
Пунктуационное оформление корректно.
В предложении ошибка. Правильно: запускай бумажного змея. Змей – одушевленное существительное (в т. ч. об игрушке). См.: Зализняк А. А. Грамматический словарь русского языка. – 5-е изд., испр. – М., 2008.
Корень смек-.
Запятая перед тире в подобных случаях нужна.
Согласно словарям, слово змей во всех значениях - одушевленное существительное. Учительница в данном случае ошибается.
Корректно: талисман года.