Однозначной рекомендации нет, предлоги конкурируют: на архипелаге Фиджи, но в государстве Фиджи. Для снятия неоднозначности можно написать так: выборы в Республике Фиджи.
Предпочтительно: на пляжах западного и восточного побережья Индии.
Ответ на вопрос дают наши электронные словари. Просто наберите приведенные слова в окне «Искать на Грамоте».
Корректно: в Индии.
Нет, с точки зрения морфемики это не однокоренные слова.
Предпочтительно: заимствованы у украинцев, заимствованы из Индии.
Если имеется в виду учреждение, верно: Посольство России в Индии.
После похоже запятую ставить не надо.