Завтра – существительное, не склоняется.
Верно: на завтра не обещают дождя.
Постановка тире возможна.
Предпочтителен второй вариант.
Оба варианта верны.
Деепричастный оборот нужно обособить запятой.
Это слова этимологически родственные, но в современном русском языке они однокоренными не являются.
В разговорной речи такое употребление возможно. Но стилистически нейтрально: У тебя же завтра выходной?