Такой разбор верен. Также -ть можно выделить как суффикс.
Такое употребление корректно.
Правилен такой разбор: [Дома мой гость сразу начал мне жаловаться], (что (пока он ехал ко мне), то заблудился в лесу и вынужден был заночевать в сторожке лесника). В этом предложении три части.