Можно. Но лучше: написанная от руки записка.
Правильно: заявка на участие.
Правильно: заверка документов. А заверение – это обнадеживающее заявление, уверение в чем-либо.
В глаголах несовершенного вида с суффиксом -ва́-, имеющих форму 1-го лица на -ва́ю, безударные гласные перед в проверяются по общему правилу, напр.: одолева́ть (ср. одоле́ть), устарева́ть (устаре́ть), запива́ть (запи́ть), запева́ть (запе́ть) и т. д.
Поэтому верно: ослабевать (ср. ослабеть).
Правилен первый вариант.