Правильно: вопреки (чему?) мнению.
Пробел нужен, однако он может отсутствовать по техническим причинам: если нет возможности поставить неразрывный пробел, чтобы части сокращения не оказались на двух разных строчках.
Корректно со строчной: Постановление администрации Карачевского района.
Правильно: глава администрации Вологодской области.
Правильно со строчной буквы.