Корректный вариант: забраться внутрь. Наречие вовнутрь носит разговорный характер, имеет сниженную стилистическую окраску.
Могут быть использованы оба предлога.
Постановка этих знаков избыточна.
Да, это грамотное выражение, его можно использовать (в том числе в СМИ).