Верно: залезать. Вариант залазить просторечный.
Залезать – стилистически нейтральный вариант, залазить – просторечный.
Оба варианта правильны.
Слова автора начинаются со строчной буквы:
– А я знаю?! – от собственной беспомощности участковый готов был заплакать.
– Это как же? – сестер начало мелко трясти.
В значении "останавливать свое внимание на чем-либо" - залипать на чем-либо. Отметим, что такое употребление не является литературным (нормативным).
Оба варианта корректны, различаются оттенками значения: Не надо задавать вопросы (конкретные), Не надо задавать вопросов (вообще никаких).
Предпочтительно: не задавать вопросов.
Корректно: закапать (лекарство) в нос, в глаза...