Слово заживать используется применительно к ранам, ссадинам или частям тела. Пожелания людям звучат так: выздоравливайте, поправляйтесь или пусть нога скорее заживает.
Правильно раздельное написание, но вместо длительно лучше сказать долго: долго не заживающая рана.
Верно: длительно не заживающие.