См. ответ на вопрос № 176838.
Эти слова могут быть синонимами, но не в любом контексте. Подробнее см. в словарях.
От глагола махать образуются две формы – маша и махая. С нормативной точки зрения они равноправны (в отличие от личных форм настоящего времени, где машу, машет – предпочтительные формы, а махаю, махает – разговорные).
См. в «Словаре трудностей».