Нет, кавычки не нужны.
Верно: жабра (слово женского рода). Форма множественного числа родительного падежа: жабр.
Что касается второго примера, то верны оба варианта: манжет (мужского рода) и манжета (женского). Форма множественного числа родительного падежа: манжет.
В современном русском языке верно: жабр.
Лучше: в жанре детектива, в детективном жанре.
Корректное написание: жилье комфорткласса, жилье класса комфорт.
Верно: в Бабьем Яре.
Правильно: в Бабьем Яре.
Верно: написан в жанре комедии.
В Бабьем Яре — рекомендация «Словаря собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко. На практике употребляются оба варианта, в том числе в художественной литературе и публицистике (но в романе Анатолия Кузнецова используется вариант в Бабьем Яре).
Правильно со словом студентка.