Начальная форма - ежик.
Е-жик.
В пословице подлежащее сверчок, местоимение всяк является определением к подлежащему.
Вы правы. Весной в этом предложении, безусловно, является наречием.
См. форму единственного числа: весь.
Правильно: Диск содержит 161 полнотекстовый документ.