Грамматически верно: в мозг красна молодца.
Корректно слитное написание.
Запятая после думал нужна.
В официальных документах принято такое написание: Государственная Дума, Московская областная Дума.
Корректно: Думаю: а в чем же дело?
Пунктуация зависит от контекста, но чаще слова недолго думая обособляются как деепричастный оборот.
См. вопрос 280478.
Верно слитное написание: Я думаю, что это будет неуместно.
Сочетание недолго думая запятыми выделяется, но не как вводное, а как деепричастный оборот.