Уместно без запятой.
Оба варианта верны.
Это предложение сложное, в нем две грамматические основы.
Правильно: у/чет/.
Правильно: на учёт поставлен 2 000 981 гражданин.
Постановка тире объясняется тем, что в этой конструкции подчеркивается параллелизм строения компонентов, в каждом из которых придаточная часть сложноподчиненного предложения находится перед главной. См. пункт 4 параграфа 124 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.
В родительном падеже – переподготовки (программа чего? профессиональной переподготовки); в дательном падеже – переподготовке (программа по чему? по профессиональной переподготовке). Обычное употребление – с родительным падежом.
Согласны с Вами, логичнее рассматривать сказуемое как составное именное.