Оба слова существуют, но различаются стилистически: досылка – общеупотребительное, стилистически нейтральное, досыл употребляется в профессиональной речи. Если хочется уйти от канцелярского языка, лучше использовать слово досылка.
Досочка, досточка, дощечка - это маленькая доска.
Слово существует, и даже употребляется :) Если же говорить о его стилевой характеристике, то можно считать слово "простонародным". Или "просто народным".
Географические названия обычно не склоняются в сочетании со словом поселок: жители поселка Октябрь.
Топонимы со словом посёлок обычно не склоняются. Верно: на Дне посёлка Маяк.
Половая доска - корректное сочетание. Доска пола - также возможно.
Название поселка пишется точно так же, как имя писателя: поселок Лев Толстой.
Лучше: видная команде доска.