Об этом свидетельствуют: 1) начальная гласная Э; 2) гласные ИО, идущие подряд в середине слова.

Правильно: влезать. Влазить – просторечие.

Ваша фамилия склоняется. По нормам русской грамматики склоняются все мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный звук (кроме фамилий на -ых типа Черных, Седых). А вот женская фамилия Кимбар не склоняется.

Правильно: порезать и нарезать овощи, но только порезать палец.

Нарезать и порезать – синонимы. Возможно, редактор стремился избежать повтора слов.

Воспользуйтесь "Проверкой слова": такое написание зафиксировано в орфографическом словаре.

В обоих случаях возможно как слитное, так и раздельное написание в зависимости от смысла. Раздельное написание подчеркивает отрицание.

В двух Ваших письмах не содержалось вопроса. На письмо с вопросом отвечаем. Фамилия Давидовец, как и другие фамилии на согласный, не склоняется, если относится к женщине. Если фамилия относится к мужчине, то она должна склоняться. Тип склонения – с сохранением е перед ц в косвенных падежах или без е – определяет носитель фамилии. Эти правила описаны в «Письмовнике» и в «Словаре собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко (пп. 4.1–4.3).