Склоняется фамилия, принадлежащая мужчине.
Написание слов можно проверять в наших электронных словарях (окно «Искать на Грамоте», набрать, например, *лечебница).
Да, подо Львовом - корректно. Как и под Львовом.
Верно: замаскироваться под кого-что-либо.
Да, первое слово в официальном названии организации пишется с большой буквы (в данном случае это слово Центр).